Question

已知动点M（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1．
（1）求动点M的轨迹C的方程
（2）过点P（0，2）的直线交曲线C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

(x-1)2+y2

=x+1，由此能求出动点M的轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=kx+2

，消去x，得：ky²-4y+8=0，由此利用根的判别式、圆的性质，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵动点M（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，
∴

(x-1)2+y2

=x+1，
整理，得y²=4x，
∴动点M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=kx+2

，消去x，得：ky²-4y+8=0，
则△=16-32k＞0，解得k＜

1

2

，
∴y1y2=

8

k

，x1x2=

y12

4

•

y22

4

=

4

k2

，
∴以AB为直径的圆过原点O，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，
∴

4

k2

+

8

k

=0，解得k=-

1

2

，
直线l的方程为y=-

1

2

x+2．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．