Question

如图所示，已知圆O：x²+y²=1，直线l：y=kx+b（b＞0）是圆的一条切线，且l与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）若△AOB的面积等于，求直线l的方程；
（2）设△AOB的面积为S，且满足，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）由三角形的面积公式，要分别求底即弦长，要求高即点到直线的距离．（2）由（1）知△AOB的面积模型，即有可得而设A（x₁，y₁），B（x₂，y_2）由韦达定理，转化为关系k²的函数求解．
解答：解：（1）由题意可知：∴（1分）
又
得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0（2分）∴（3分）
而O到直线AB的距离为（4分）
则有
得k=±（15分）
所求直线的方程为或．（6分）
（2）由题意可知
得（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b（10分）
根据韦达定理得：
代入上式得：∴．（13分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离以及建立函数模型的能力．