Question

10．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=$\frac{2S}{a+b+c}$；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$．

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r
∴r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$．
故答案为：$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．