Question

15．设实数x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥1}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则z=（x-1）²+（y-1）²的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用z=（x-1）²+（y-1）²的几何意义求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥1}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

z=（x-1）²+（y-1）²的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，1）距离的平方，
由图可知可行域内的动点与定点P（1，1）距离的最小值为P到直线x-y-1=0的距离，等于$\frac{|1-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴z=（x-1）²+（y-1）²的最小值是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．