Question

4．已知函数f（x）=4^x+k•2^x+1，m（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$
（1）当k=-4时，求函数f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（2）判断m（x）的奇偶性，并利用定义证明函数m（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）设g（x）=|$\frac{f（x）}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$|，若存在x₁，x₂，x₃∈[-1，log₂$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，使得g（x₁），g（x₂），g（x₃）为三边长的三角形不存在，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把k=-4代入解析式，设2^x=t并求出t的范围，将原函数转化为关于t的二次函数，根据二次函数的性质求出f（x）在[0，2]上的最小值；
（2）求出m（x）的定义域，利用函数奇偶性的定义判断，再根据函数单调性定义进行证明即可；
（3）根据构成三角形的条件将已知条件转化为：2g（x）_min≤g（x）_max，利用分离常数法化简g（x），设t=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，由基本不等式和x的范围求出t的范围，代入原函数化简后，分k＞1、k=1、k＜1三种情况，根据该函数的单调性求出函数的最值，列出不等式求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=4^x-4•2^x+1，
设t=2^x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]，
原函数变为：y=t²-4t+1=（t-2）²-3，
∴当t=2时，函数f（x）在[0，2]上的最小值是-3；
（2）函数m（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$的定义域是R，
∵m（-x）=2^-x+$\frac{1}{{2}^{-x}}$=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=m（x），∴m（x）是偶函数，
设0＜x₁＜x₂，
则m（x₁）-m（x₂）=${2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-（${2}^{{x}_{2}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）
=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$）$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴${1＜2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，则${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$，
∴m（x₁）-m（x₂）＜0，则m（x₁）＜m（x₂），
所以函数m（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）由题意知：x₁，x₂，x₃∈[-1，log₂$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，使得g（x₁）+g（x₂）≤g（x₃），
即2g（x）_min≤g（x）_max，
g（x）=|$\frac{f（x）}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$|=|$\frac{{4}^{x}+k•{2}^{x}+1}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$=|$1+\frac{（k-1）{•2}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$|
=|1+$\frac{k-1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+1}$|，
令t=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，当且仅当${2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$是取等号，此时x=0，
代入g（x）可得：y=|1+$\frac{k-1}{t+1}$|，
∵x₁，x₂，x₃∈[-1，log₂$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，∴t∈[2，6]，
①当k＞1时，y∈[$\frac{k+6}{7}$，$\frac{k+2}{3}$]，2×$\frac{k+6}{7}$≤$\frac{k+2}{3}$，解得k≥22；
②当k=1时，y=1，不满足条件；
③当k＜1时，y∈[$\frac{k+2}{3}$，$\frac{k+6}{7}$]，2×$\frac{k+2}{3}$≤$\frac{k+6}{7}$，解得k≤$-\frac{10}{11}$，
综上可得，实数k的取值范围是（-∞，$-\frac{10}{11}$]∪[22，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，函数的值域，指数函数的性质等等，考查换元法、转化思想、分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于难题．