Question

14．过抛物线y²=4x的准线与x轴的交点E作直线交抛物线于A，B两点，F是抛物线焦点，若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0．求直线AB的方程．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设直线AB：y=k（x+1），（k≠0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线方程，消去x，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，化简整理解方程可得k，进而得到直线AB的方程．

解答 解：抛物线y²=4x的准线为x=-1，F（1，0），
可得E（-1，0），
设直线AB：y=k（x+1），（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入抛物线方程，消去x，可得
$\frac{k}{4}$y²-y+k=0，判别式1-k²＞0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=4，
即有y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$-8，
若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0，则y₁y₂+（x₁-1）（x₂-1）=0，
即为4+1-$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²）+$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=0，
即5-$\frac{1}{4}$（$\frac{16}{{k}^{2}}$-8）+1=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入判别式可得△＞0成立．
即有直线AB的方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．