Question

2．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，求证：[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]．

Answer 1

分析 分x=[x]+m，0≤m＜$\frac{1}{2}$，x=[x]+m，$\frac{1}{2}$≤m＜1讨论求解，从而证明．

解答 证明：若x=[x]+m，0≤m＜$\frac{1}{2}$，
则[x]=[x]，[x+$\frac{1}{2}$]=[[x]+m+$\frac{1}{2}$]=[x]，
[2x]=[2[x]+2m]=2[x]，
故[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]．
若x=[x]+m，$\frac{1}{2}$≤m＜1，
则[x]=[x]，[x+$\frac{1}{2}$]=[[x]+m+$\frac{1}{2}$]=[x]+1，
[2x]=[2[x]+2m]=2[x]+1，
故[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]．
综上所述，[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及取整运算的应用，属于基础题．