Question

6．设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x，y轴正方向分别平移t，s（t≠0）个单位长度后得到曲线C₁．
（1）写出曲线C₁的方程；
（2）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明：s=$\frac{{t}^{3}}{4}$-t．

Answer 1

分析 （1）将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s；
（2）曲线C与C₁有且仅有一个公共点，即方程组有唯一解，对应的一元二次方程的判别式等于0，即可证明结论．

解答 （1）解：根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s，则可得C₁：y-s=（s-t）³-（x-t）．①
（2）证明：因为曲线C与C₁有且仅有一个公共点，所以，方程组曲线C与C₁联立，有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx²-3t²x+（t³-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t⁴-12t（t³-t-s）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{t≠0}\\{t（{t}^{3}-4t-4s）=0}\end{array}\right.$
所以s=$\frac{{t}^{3}}{4}$-t且t≠0．

点评 本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力．