Question

1．在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，∠C=3∠B，则$\frac{c}{b}$的取值范围为（1，3）．

Answer 1

分析 根据正弦定理可得到 $\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，结合∠C=3∠B根据两角和的正弦公式和二倍角公式可得整理得到 $\frac{c}{b}$=4cos2B-1，再由∠B的范围即可得到 $\frac{c}{b}$的取值范围．

解答 解：根据正弦定理：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，
得$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{sin2BcosB+cos2BsinB}{sinB}$=$\frac{2sinBcosBcosB+cos2BsinB}{sinB}$=4cos²B-1，
由∠C=3∠B，4∠B＜180°，故0°＜∠B＜45°，cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
故4cos²B-1∈（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查了正弦定理的应用以及二倍角公式的应用，确定好∠B的范围是正确解决本题的关键，属于中档题．