Question

16．设S₁、S₂、S₃是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果x∈S_i，y∈S_j，则x-y∈S_k，证明：S₁、S₂、S₃中必有两个集合相等．

Answer 1

分析 若x∈S_i，y∈S_j，则x-y∈S_k，所以（y-x）-y=-x∈S_i，所以S_i中有非负元素． 由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素．
若三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S₁，则对任意x∈S₂，有x-0=x∈S₃，所以S₂包含于S₃，对于任意y∈S₃，有y-0=y∈S₂，所以S₃包含于S₂，所以S₂=S₃．
所以这道题目只需证明在某个集合中有0就可以了，下面证明某个集合中有0：
若三个集合都没有0，则取S₁∪S₂∪S₃中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S₁，取S₂∪S₃中的最小正整数b，并不妨设
b∈S₂，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S₃，矛盾）；但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-a∈S₃，这时与b为S₂∪S₃中的最小正整数矛盾．

解答 证明：若三个集合都没有0，则取S₁∪S₂∪S₃中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），
不妨设a∈S₁，取S₂∪S₃中的最小正整数b，并不妨设b∈S₂，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S₃，矛盾）；
但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-a∈S₃，这时与b为S₂∪S₃中的最小正整数矛盾．
∴三个集合中必有一个集合含有0．
∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S₁，则对任意x∈S₂，有x-0=x∈S₃，
∴S₂包含于S₃，对于任意y∈S₃，有y-0=y∈S₂，
∴S₃包含于S₂，则S₂=S₃．
综上所述，这三个集合中必有两个集合相等．

点评 本题是一道证明题，考查在已知条件下证明两个集合相等，考查反证法思想的应用，入手难，综合考查学生的逻辑推理能力，属难题．