Question

3．已知f（$\frac{1}{2}$${log}_{\frac{1}{2}}$x）=$\frac{x-1}{x+1}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）利用换元法即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）利用函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．

解答 解：（1）设t=$\frac{1}{2}$${log}_{\frac{1}{2}}$x，则log${\;}_{\frac{1}{2}}x$=2t，则x=$（\frac{1}{2}）^{2t}=（\frac{1}{4}）^{t}$，
则f（$\frac{1}{2}$${log}_{\frac{1}{2}}$x）=$\frac{x-1}{x+1}$等价为f（t）=$\frac{（\frac{1}{4}）^{t}-1}{（\frac{1}{4}）^{t}+1}$=$\frac{1-{4}^{t}}{1+{4}^{t}}$，
即f（x）=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$；
（2）∵f（-x）=$\frac{1-{4}^{-x}}{1+{4}^{-x}}=\frac{{4}^{x}-1}{1+{4}^{x}}$=-$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（3）函数为减函数
∵f（x）=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{2-（1+{4}^{x}）}{1+{4}^{x}}$=$\frac{2}{1+{4}^{x}}$-1，
∴设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1+{4}^{{x}_{1}}}$-1-（$\frac{2}{1+{4}^{{x}_{2}}}$-1）=$\frac{2}{1+{4}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{1+{4}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2（{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}）}{（1+{4}^{{x}_{1}}）（1+{4}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${4}^{{x}_{2}}＞{4}^{{x}_{1}}$，
即f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}）}{（1+{4}^{{x}_{1}}）（1+{4}^{{x}_{2}}）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函数为减函数．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．