Question

20．已知[x]表示不超过x的最大整数，如：[3]=3，[2.3]=2，[-1.7]=-2，则方程[log₂x]+1=[2^sinx]的解为1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据[x]的定义结合三角函数的取值范围以及指数幂的范围分别进行讨论即可．

解答 解：∵-1≤sinx≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤2^sinx≤2，
若-1≤sinx＜0，
则$\frac{1}{2}$≤2^sinx＜1，则[2^sinx]=0，
此时由[log₂x]+1=[2^sinx]得[log₂x]=[2^sinx]-1=0-1=-1，
则-1≤log₂x＜0，
即$\frac{1}{2}$≤x＜1，此时不满足-1≤sinx＜0，
若0≤sinx＜1，1≤2^sinx＜2，则[2^sinx]=1，
此时由[log₂x]+1=[2^sinx]得[log₂x]=[2^sinx]-1=1-1=0，
则0≤log₂x＜1，即1≤x＜2，
∵0≤sinx＜1，
∴1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$
若sinx=1，2^sinx=2，则[2^sinx]=2，
此时由[log₂x]+1=[2^sinx]得[log₂x]=[2^sinx]-1=2-1=1，
则1≤log₂x＜2，即2≤x＜4，此时无解，
综上方程的解为1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$，
故答案为：1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查与指数函数，对数函数有关的新定义问题，利用[x]的定义，结合分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键．