Question

选修4-4；坐标系与参数方程
已知直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），C₂：ρ=1．
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）以坐标原点O为圆心的圆与C₁的相切，切点为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

Answer 1

分析：（I）当α=

π

3

时，分别求得C₁和C₂ 的普通方程，再联立方程组解得C₁与C₂的交点的坐标．
（II）求得C₁ 的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），由题意求得当α变化时，P点轨迹的参数方程为

x= 1 2 sin2α y= 1 2 sinαcosα

（α为参数），消去参数，可得P点轨迹的普通方程．

解答：解：（I）当α=

π

3

时，C₁的普通方程为y=

3

（x-1），C₂ 的普通方程为x²+y²=1，
联立方程组可得

y= 3 (x-1) x2+y2=1

解得C₁与C₂的交点为（1，0）、（

1

2

，-

3

2

）．…（5分）
（II）求得C₁ 的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，A点坐标为（sin²α，-cosαsinα）．∴当α变化时，P点轨迹的参数方程为

x= 1 2 sin2α y= 1 2 sinαcosα

（α为参数），∴P点轨迹的普通方程为 (x-

1

4

)2+y²=

1

16

，
故P点轨迹是圆心为（

1

4

，0），半径为

1

4

的圆．…（10分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两曲线交点的坐标，求点的轨迹方程，属于中档题．