Question

下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（　　）

• A．y=log_0.5|x|（x≠0）
• B．y=

  1

  x

  (x≠0)
• C．y=-x³-x
• D．y=0.9^x

Answer 1

分析：A：不是奇函数，且在定义域上不是减函数
B：函数在定义域上不是减函数
C：检验满足f（-x）=-f（x）可判断为奇函数，利用导数可判断函数的单调递减
D：不是奇函数

解答：解：A：由f（x）=log_0.5|x|可知f（-x）=f（x），则函数为偶函数，不满足条件
B：y=

1

x

为奇函数，函数y=

1

x

在（0，+∞），（-∞，0）上单调递减，但不能说在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减，故B错误
C：y=-x³-x：f（-x）=-（-x）³-（-x）=x³+x=-f（x），则函数为奇函数
由y′=-3x²-1＜0恒成立，可知函数y=-x³-x在R上单调递减，故C正确
D：y=0.9^x在R上单调递减，是非奇非偶函数，故D错误

点评：本题主要考查了函数的奇偶性定义的应用及函数的单调性的判断，解题的关键是熟练掌握基本概念