Question

18．已知正三角形ABC的边长为4，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，则四面体ABCD外接球表面积为（　　）

• A． 16π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． $\frac{52π}{3}$
• D． $\frac{13π}{3}$

Answer 1

分析 三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．

解答 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为1，棱柱的高为2$\sqrt{3}$，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr²．
球心到底面的距离为$\sqrt{3}$，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以球的半径为r=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{3}}$．
外接球的表面积为：4πr²=$\frac{52π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键．