Question

10．已知a+b+c=2，且a、b、c是正数，求证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可得1=$\frac{1}{4}$（2a+2b+2c），则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{4}$（2a+2b+2c）（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）=$\frac{1}{4}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），再由三元基本不等式，以及不等式的可乘性，即可得证．

解答 证明：a+b+c=2，且a、b、c是正数，
可得1=$\frac{1}{4}$（2a+2b+2c），
$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）×1
=$\frac{1}{4}$（2a+2b+2c）（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
=$\frac{1}{4}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
≥$\frac{1}{4}$•3•$\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$•3•$\root{3}{\frac{1}{（a+b）（b+c）（c+a）}}$
=$\frac{9}{4}$（当且仅当a=b=c取得等号）．
则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算和推理的能力，属于中档题．