Question

15．已知两圆C₁：（x-4）²+y²=169，C₂：（x+4）²+y²=9，动圆在圆C₁内部且和圆C₁相内切，和圆C₂相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{x}^{2}}{64}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{48}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1

Answer 1

分析 根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．

解答 解：设动圆圆心M（x，y），半径为r，
∵圆M与圆C₁：（x-4）²+y²=169内切，与圆C₂：（x+4）²+y²=9外切，
∴|MC₁|=13-r，|MC₂|=r+3，
∴|MC₁|+|MC₂|=16＞8，
由椭圆的定义，M的轨迹为以C₁，C₂为焦点的椭圆，
可得a=8，c=4；则
b²=a²-c²=48；
∴动圆圆心M的轨迹方程：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1．
故选：D．

点评 考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，要注意椭圆方程中三个参数的关系：b²=a²-c²，属中档题．