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某科技公司生产一种产品的固定成本为20 000元,每生产一个产品增加投资100元,已知总收益满足函数R(x)=(其中x是产品的月产量),求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最大?最大利润是多少?(注:总收益=总成本+利润)

答案:
解析:

  答:当每月生产300个产品时,该科技公司获得的利润最大,此时,获得的最大利润为25 000元.

  分析:如果每月的产量为x个,根据题意,生产的成本满足函数g(x)=20 000+100x,因此,公司所获得的利润满足函数f(x)=R(x)-g(x).

  解:设科技公司的月产量为x个,则总成本为20 000+100x元,所以总利润为

  f(x)=

  当0≤x≤400时,f(x)=x2+300x-20 000,此时,函数f(x)=x2+300x-20 000的对称轴为x=300∈[0,400],所以当x=300时,f(x)max=25 000;

  当x>400时,f(x)<60 000-100×400<25 000.

  综上所述,当x=300时,函数f(x)的最大值为25 000.

  点评:这是一个分段函数求最值的问题.求解这类问题时应该先分别求出各段上的最值,然后再比较各段上的最值,最终得到函数在定义域上的最值,从而得到符合题意的解.


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1
625
x2,0≤x≤400
256,x>400
,每件产品的售价g(x)与产量x之间的关系式为g(x)=
-
5
8
x+750,0≤x≤400
500,x>400

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t22
(0≤t≤5),其中t为产品售出的数量(单位:百件).
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