Question

某公司生产一种产品的固定成本是10000元，每生产一件产品需要另外投入80元，又知市场对这种产品的年需求量为800件，且销售收入函数g（t）=-t²+1000t，其中t是产品售出的数量，且0≤t≤800（利润=销售收入-成本）．
（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f（x）的解析式；
（2）当年产量为多少时，求工厂年利润的最大值？

Answer 1

分析：（1）根据利润=销售收入-成本，结合销售收入函数，可得分段函数；
（2）分段求出函数的最值，从而可得工厂的利润最大值．

解答：解：（1）根据利润=销售收入-成本，
当0≤x≤800时，t=x，可得y=-x²+1000x-10000-80x=-x²+920x-10000
当x＞800时，t=800，y=-800²+1000×800-10000-80x=150000-80x（4分）
∴f（x）=

x2+920x-10000，0≤x≤800 150000-80x，x＞800

 （ 6分）
（2）由（1）知
当0≤x≤800时，可得f（x）=-x²+920x-10000=-（x-460）²+201600
当x=460时，f（x）取最大值201600
当x＞800时，y=150000-80x＜86000
∴当年产量为460台时，工厂年利润的最大值为201600元

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是正确构建函数，确定函数的最值．