Question

某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需再增加成本0.25万元，市场对此产品的年需求量为500件，年销售收入（单位：万元）为R（t）=5t-（0≤t≤5），其中t为产品售出的数量（单位：百件）．
（1）把年利润表示为年产量x（百件）（x≥0）的函数f（x）；
（2）当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润？

Answer 1

【答案】分析：（1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；
（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值，即当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润．
解答：解：（1）当0≤x≤5时，f（x）=R（x）-0.5-0.25x
=-x²+4.75x-0.5；当x＞5时，
f（x）=R（5）-0.5-0.25x=12-0.25x，
故所求函数解析式为．
（2）0≤x≤5时，f（x）=-（x-4.75）²+10.78125，
∴在x=4.75时，
f（x）有最大值10.78125，当x＞5时，
f（x）=12-0.25x＜12-0.25×5
=10.75＜10.78125，
综上所述，当x=4.75时，f（x）有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润．
点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．