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    （2012•福建模拟）（1）选修4-2：矩阵与变换
    已知向量
    1
    -1
    在矩阵M=
    1m
    01
    变换下得到的向量是
    0
    -1
    ．
    （Ⅰ）求m的值；
    （Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
    （2）选修4-4：极坐标与参数方程
    在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
    		2
    ，
    π
    4
    )    ，曲线C的参数方程为
    x=1+
    		2
    cosα
    y=
    		2
    sinα
    （α为参数）．
    （Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
    （Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    设实数a，b满足2a+b=9．
    （Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
    （Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
    分析：（1）（Ⅰ）由条件求得
    1-m
    -1
    =
    0
    -1
    ，从而求得m 的值．
    （Ⅱ）先求得，M-1=
    1-1
    01
    ，设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'），由矩阵变换的法则得
    x=x′+y′
    y=y′
    代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'，由此得出结论．
    （2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
    		2
    ，
    π
    4
    )    得点M的直角坐标为（4，4），由此求得直线OM的直角坐标方程．
    （Ⅱ）由曲线C的参数方程化为普通方程，可得表示一个圆，求出M到圆心的距离，减去半径，即得所求．
    （3）（Ⅰ）由2a+b=9得|6-b|=2|a|．不等式化为3|a|＜3，即|a|＜1，从而解得a的取值范围．
    （Ⅱ）由 a，b＞0，且z=a2b，利用平均值不等式求得z的最大值．
    解答：（1）解：（Ⅰ）因为
    1m
    01
    1
    -1
    =
    1-m
    -1
    ，
    所以，
    1-m
    -1
    =
    0
    -1
    ，即m=1．…（3分）
    （Ⅱ）因为M=
    11
    01
    ，所以M-1=
    1-1
    01
    ．…（4分）
    设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
    由
    x′
    y′
    =
    1-1
    01
    x
    y
    =
    x-y
    y
    ，…（5分）
    所以
    x-y=x′
    y=y′
    得
    x=x′+y′
    y=y′
    代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'．…（6分）
    由（x，y）的任意性可知，曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x．…（7分）
    （2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
    		2
    ，
    π
    4
    )    得点M的直角坐标为（4，4），
    所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
    （Ⅱ）由曲线C的参数方程
    x=1+
    		2
    cosα
    y=
    		2
    sinα
    （α为参数）
    化为普通方程为（x-1）2+y2=2，…（5分）
    圆心为A（1，0），半径为r=
    		2
    ．
    由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
    		2
    ．…（7分）
    （3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
    所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
    所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
    （Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(
    a+a+b
    3
    )3=(
    2a+b
    3
    )3=33    =27，…（6分）
    当且仅当a=b=3时，等号成立．
    故z的最大值为27．…（7分）
    点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识；考查参数方程、极坐标方程等基础知识；考查绝对不等式、不等式证明等基础知识．考查数形结合思想考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
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    .
    x
    甲    ，
    .
    x
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    ⊥
    b
    ，则x=
    1
    1
    ．

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