Question

5．已知函数f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$），x∈[a，+∞）的值域为[0，+∞），则实数a的值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中函数的定义域可得a＞0，结合对数函数的单调性和复合函数的单调性，分析函数为增函数后，可得当x=a时，a-$\frac{1}{a}$=1，解得答案．

解答 解：∵函数f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$），x∈[a，+∞），
则a＞0，
由y=log₂x在定义域上为增函数，y=x-$\frac{1}{x}$在[a，+∞）上为增函数，
故函数f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$）在[a，+∞）上为增函数，
若函数f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$），x∈[a，+∞）的值域为[0，+∞），
故当x=a时，a-$\frac{1}{a}$=1，
解得：a=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，或a=$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去）
故实数a的值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．