Question

19．已知等差数列{a_n}中，前三项分别是x，2x，4x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求x的值，数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n．
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，且T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质得2×2x=x+4x-2，由此能求出x，从而等差数列{a_n}中，前三项分别是2，4，6，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n．
（2）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），利用裂项法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}中，前三项分别是x，2x，4x-2，
∴2×2x=x+4x-2，解得x=2，
∴等差数列{a_n}中，前三项分别是2，4，6，
∵a₁=2，d=4-2=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
（2）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．