Question

关于二次函数学生甲有以下观点：①二次函数必有最大值；②二次函数必有最小值；③闭区间上的二次函数必定同时存在最大值，最小值；④对于命题③，最值一定在区间端点取得．你认为学生甲正确的观点序号是

 

．根据你的判断试解决下述问题：已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在[-

3

2

，2]上的最大值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）二次函数在开区间上可能没有最大值和最小值，故①②不正确，而④的情况下，若区间中包含对称轴，则最值不一定在区间端点取得，故④错，③正确．
（2）首先要讨论a的取值情况．当a=0时，f（x）为单减的一次函数，易得a的值；当a≠0时，考虑对称轴的问题，分情况计算，即可得到答案．

解答：解：（1）二次函数在开区间上可能没有最大值和最小值，如y=x²在（1，3）上既没有最大值，也没有最小值，则①、②均错误，
由函数的最值定理，可得③正确，
对于④，其区间若包含对称轴，则最值不一定在区间端点取得，故④错，（2分）
（2）当a=0时，f（x）=-x+1在[-

3

2

，2]上的最大值为
f(-

3

2

) =

5

2

≠3不合题意，舍去；（3分）
当a≠0时，
①令f(-

2a-1

2a

) =3得a=-

1

2

，此时抛物线开口向下，对称轴x=-2，
且-2∉[-

3

2

，2]，故a= -

1

2

不合题意，舍去；（6分）
②令f（2）=3，得a=

1

2

，此时抛物线开口向上，
闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=

1

2

符合题意；（9分）
③若f(-

3

2

) =3得a=-

2

3

经检验符合题意，（12分）
综上可知：实数a的值为a=

1

2

或a=-

2

3

（13分）

点评：此题主要考查二次函数的单调性和相关性质．