Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函数；
④函数y=f（x）的最小正周期为1；
则其中真命题是

①④

．

Answer 1

分析：根据题意，先对函数化简，然后作出函数的图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确．

解答：解：由定义：m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），得-

1

2

＜x-m≤

1

2

，
据此可画出函数图象：

①∵对于任意实数x，函数f（x）都有意义，故函数的定义域为R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②∵（

1

2

，

1

2

）在图象上，（-

1

2

，-

1

2

）不在图象上，∴点（0，0）不是y=f（x）的图象的对称中心；②错；
③函数y=f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是增函数；③错；
④从图象的周期性变化来看，函数y=f（x）的最小正周期为1；
由此可选择①④．
故答案为：①④．

点评：本题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题．