Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b²+c²=a²+bc．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果cosB=

6

3

，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的大小；
（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b的值代入已知等式中求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²+c²=a²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵cosB=

6

3

，B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

3

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得a=

bsinA

sinB

=3，
∵b²+c²=a²+bc，即4+c²=9+2c，
整理得：c²-2c-5=0，
解得：c=1±

6

，
∵c＞0，
∴c=

6

+1，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 2 + 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．