Question

已知两点A（3，0），B（0，3），若抛物线C：y=-x²+mx+1与线段AB有且只有一个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：线段AB：y=-x+3（0≤x≤3），与y=-x²+mx+1联立得x²-（m+1）x+2=0，已知条件即此方程在[0，3]内有且只有一个根，至此划归为根的分布问题．令f（x）=x²-（m+1）x+2，又f（0）=2＞0结合f（x）的图象求解．

解答： 解：根据题意：线段AB：y=-x+3（0≤x≤3），
与y=-x²+mx+1联立得：
x²-（m+1）x+2=0，
令f（x）=x²-（m+1）x+2，
若抛物线C：y=-x²+mx+1与线段AB有且只有一个公共点，
即f（x）在[0，3]上有且只有一个零点，
∵f（0）=2＞0，
∴函数在[0，2]上有交点，
∴f（3）≤0，
即3m-8≤0
解得：m≤

8

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点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时还考查了转化思想，数形结合思想，函数思想等．