Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（$A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求f（x）的解析式，对称轴及对称中心；
（2）该图象可以由y=sinx的图象经过怎样的变化得到；
（3）当$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据与x轴相邻两个交点直接距离为$\frac{π}{2}$，可得周期T，求出ω，图象过M，带入解出φ，可得解析式，在求对称轴及对称中心即可．
（2）根据平移变换的规律求解．
（2）$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意，图象与x轴相邻两个交点直接距离为$\frac{π}{2}$，
可得$T=\frac{π}{2}×2=π$，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又∵图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，且A＞0，∴A=2，$sin（{2×\frac{2π}{3}+φ}）=-1$，
∴$2×\frac{2π}{3}+φ=\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$φ=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$$又∵0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$，
因此，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
对称轴：∵$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
∴对称轴方程为$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
对称中心：∵$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，
∴函数的$对称中心为（{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，0}）（{k∈Z}）$．
（2）将y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$，得到$y=sin（{x+\frac{π}{6}}）$，再将横坐标缩小原来的$\frac{1}{2}$，
纵坐标不变得到$y=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，再横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（3）$当x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，$则2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}]$，
∴$当2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}时，即x=\frac{π}{6}，f{（x）_{max}}=2$，
$当2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}时，即x=\frac{π}{2}，f{（x）_{min}}=-1$，
故得f（x）的值域是[-1，2]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，求解出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题