Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求：

(1)截面EAC的面积；
(2)异面直线A₁B₁与AC之间的距离；
(3)三棱锥B₁—EAC的体积.

Answer 1

(1)S_△EAC=a(2) A₁B₁与AC距离为a(3)

(1)连结DB交AC于O，连结EO，
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD
∴EO⊥AC，即∠EOD=45°
又DO=a，AC=a，EO==a，∴S_△EAC=a
(2)∵A₁A⊥底面ABCD，∴A₁A⊥AC，又A₁A⊥A₁B₁
∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线
又EO∥BD₁，O为BD中点，∴D₁B=2EO=2a
∴D₁D=a，∴A₁B₁与AC距离为a
(3)连结B₁D交D₁B于P，交EO于Q，推证出B₁D⊥面EAC
∴B₁Q是三棱锥B₁—EAC的高，得B₁Q=a