Question

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

x	3	-2	4	2	3
y	-2 3	0	-4	2 2	- 1 2

（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且

OM

•

ON

=0，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），由题意知C₂：y²=4x（2分）．设C2：

x2

a2

+

y2

b2

=(a＞b＞0)，把点（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得

a2=4 b2=1

，由此可知C₂的方程．
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x-1=my，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OM

•

ON

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0．由

x-1=my x2 4 +y2=1

消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0．

解答：解：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p(x≠0)，
据此验证5个点知只有（3，-2

3

）、（4，-4）在统一抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）
设C2：

x2

a2

+

y2

b2

=(a＞b＞0)，把点（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得

a2=4 b2=1

∴C₂方程为

x2

4

+y2=1（5分）
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）
设其方程为x-1=my，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

OM

•

ON

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0（*）（7分）
由

x-1=my x2 4 +y2=1

消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0
∴y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

①
x₁x₂=（1+my₁）（1+my₂）=1+m（y₁+y₂）+m²y₁y₂；
=1+m•

-2m

m2+4

+m2•

-3

m2+4

=

4-4m2

m2+4

②（9分）
将①②代入（*）式，得

4-4m2

m2+4

+

-3

m2+4

=0
解得m=±

1

2

（11分），
∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．