Question

（2012•德州一模）设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线C₂：x2=4

2

y的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=

3

3

，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得

OM

•

ON

=-1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程．

解答：解：（I）抛物线C：x2=4

2

y的焦点为（0，

2

）
∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线C₂：x2=4

2

y的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为（0，

2

），即b=

2

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

3

，∴a=

3

，
∴椭圆的标准方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，

2 3

3

），N（1，-

2 3

3

），∴

OM

•

ON

=1-

2

3

≠-1，不合题意．
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将直线方程代入椭圆方程可得：（2+3k²）x²-6k²x+4k²-6=0，
∴x₁+x₂=

6k2

2+3k2

，x₁•x₂=

3k2-6

2+3k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

3k2-6

2+3k2

+k²（

3k2-6

2+3k2

-

6k2

2+3k2

+1）=

-k2-6

2+3k2

=-1
∴k=±

2

，
故直线l的方程为y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．

点评：本题重查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．