已知函数,其中
.
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求
的取值范围;
(3)已知,如果存在
,使得函数
在
处取得最小值,试求
的最大值.
(1) (2)
(3)
【解析】
试题分析:(1) 利用导数求切线方程,关键在于理解切点的三个含义,一是在切点处的导数值为切线的斜率,二是切点在曲线上,即切点坐标满足曲线方程,三是切点在直线上,即切点坐标满足直线方程,有时这一条件用直线两点间斜率公式表示.因为所以
,再根据点斜式写出切线方程. (2)利用导数研究函数单调性,往往转化为研究导函数为零时方程根的情况,本题函数
在区间(1,2)上不是单调函数,就转化为
在区间(1,2)上有不相等的根,可由实根分布列充要条件,也可利用变量分离结合图象求函数对应区域范围,(3)已知函数最值求参数取值范围,可从恒成立角度出发,实现等价转化,也可分类讨论求最值列等式.本题采取
对
恒成立较好.转化为二次函数恒成立可从四个方面研究:一是开口方向,二是对称轴,三是判别式,四是区间端点函数值的正负.
试题解析:(1)解:当时,
,则
,故
2分
又切点为,故所求切线方程为
,即
4分
(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,
由,得
,因为
,所以
7分令
,则
,故
在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为
,从而
的取值范围是
9分
(3),
由题意知对
恒成立,即
对
恒成立,即
①对
恒成立 11分
当时,①式显然成立;
当时,①式可化为
②,
令,则其图象是开口向下的抛物线,所以
13分
即,其等价于
③ ,
因为③在时有解,所以
,解得
,
从而的最大值为
16分
考点:利用导数求切线方程,利用导数研究函数单调性,不等式恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
已知函数其中
,
,
(1)若求
的值;
(2)在(1)的条件下,若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
,求函数
的解析式;并求最小正实数
,使得函数
的图象向左平移
个单位所对应的函数是偶函数.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省仙桃市高三第二次月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题共14分)已知函数其中常数
.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)当时,若函数
有三个不同的零点,求m的取值范围;
(3)设定义在D上的函数在点
处的切线方程为
当
时,若
在D内恒成立,则称P为函数
的“类对称点”,请你探究当
时,函数
是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖北省高三上学期期末理科数学试卷 题型:解答题
已知函数其中常数
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)当时,给出两类直线:
与
,其中
为常数,判断这两类直线中是否存在
的切线,若存在,求出相应的
或
的值,若不存在,说明理由.
(3)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
,当
若
在
内恒成立,则称
为函数
的“类对称点”,当
时,试问
是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三第二次月考理科数学卷 题型:解答题
(本题满分14分)
已知函数其中实数
。
(1)-2,求曲线在点
处的切线方程;
(2)x=1处取得极值,试讨论的单调性。
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