Question

5．已知表面积为a²的正方体的外接球的体积为$\frac{\sqrt{2}}{24}$πa³．

Answer 1

分析 根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径即可．

解答 解：正方体的表面积为a²，则正方体的棱长为$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
正方体的体对角线是其外接球的直径，故2R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
所以R=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a．
所以V=$\frac{4}{3}$π×$\frac{\sqrt{2}}{32}$a³=$\frac{\sqrt{2}}{24}$πa³．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{24}$πa³．

点评 本题考查了正方体的外接球问题，一般的会考虑正方体的棱长、体对角线等与其外接球、内切球的半径间的关系解决问题．