Question

6．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosA=ccosB+bcosC．
（1）若a=4，△ABC的面积为$\sqrt{15}$，求b，c的值；
（2）若sinB=ksinC（k＞0），且△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．

Answer 1

分析 先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；
（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；
（2）利用正弦定理和余弦定理，讨论B为钝角和C为钝角时，分别求出k的取值范围．

解答 解：△ABC中，4acosA=ccosB+bcosC，
∴4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
∴cosA=$\frac{1}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$；
（1）a=4，
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc=16①；
又△ABC的面积为：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$，
∴bc=8②；
由①②组成方程组，解得b=4，c=2或b=2，c=4；
（2）当sinB=ksinC（k＞0），b=kc，
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=（kc）²+c²-2kc•c•$\frac{1}{4}$=（k²-$\frac{1}{2}$k+1）c²；
当B为钝角时，a²+c²＜b²，
即（k²-$\frac{1}{2}$k+1）+1＜k²，解得k＞4；
当C为钝角时，a²+b²＜c²，
即（k²-$\frac{1}{2}$k+1）+k²＜1，解得0＜k＜$\frac{1}{4}$；
所以△ABC为钝角三角形，k的取值范围是
0＜k＜$\frac{1}{4}$或k＞4．

点评 主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目．