Question

14．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．
（1）求二面角A-EF-C的余弦值；
（2）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（3）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出$\frac{EP}{PC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EF的中点O，连接AO，CO，AC，推导出AO⊥EF，CO⊥EF，从而∠AOC为二面角A-EF-C的平面角，由此能求出二面角A-EF-C的余弦值．
（Ⅱ）作AH⊥CO交CO于H点，则AH⊥平面CEF，∠AFH是直线AF与平面ECF所成角，由此能求出直线AF与平面ECF所成角的正弦值．
（Ⅲ）A在平面CEF上的射影在中线CO上（不在C点），由此得到在线段EC上不存在点P，使得AP⊥平面CEF．

解答 证明：（Ⅰ）取EF的中点O，连接AO，CO，AC．
由题可知：
AE=AF=CF=CE=2$\sqrt{2}$，EF=2
所以AO⊥EF，CO⊥EF，则∠AOC为二面角A-EF-C的平面角．
在△AOC中，AC=2$\sqrt{3}$，cos∠AOC=$\frac{A{O}^{2}+C{O}^{2}-A{C}^{2}}{2AO•CO}$=$\frac{1}{7}$，
故二面角A-EF-C的余弦值为$\frac{1}{7}$  …．…..（4分）
解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，四边形BDEF是正方形，
∴DE⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥EF，
∵AE=AF，O是EF中点，∴AO⊥EF，
∵AC∩AO=A，∴EF⊥平面AOC，
∴EF?平面CEF，
作AH⊥CO交CO于H点，则AH⊥平面CEF，
∴∠AFH是直线AF与平面ECF所成角，
直线AF与平面ECF所成角的正弦值：
sin∠AFH=$\frac{AH}{AF}$=$\frac{\frac{4\sqrt{21}}{7}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．…．…..（8分）
（Ⅲ）不存在
由第二问知：A在平面CEF上的射影在中线CO上（不在C点），
而过一点作已知平面的垂线只能作一条，
故在线段EC上不存在点P，使得AP⊥平面CEF．…．…..（12分）

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．