Question

已知平面上两个定点、，P为一个动点，且满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
（2）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出，最后看其是不是定值即可．
解答：解：（I）设P（x，y）．
由已知，

（3分）
∵
∴4y+8=4整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）
将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λ²y₂（3分）
解（2）、（3）式得，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
，
即y=
解出两条切线的交点Q的坐标为（11分）
所以
=
所以为定值，其值为0．（13分）
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．