Question

求过三点O（0，0）、M₁（1，1）、M₂（4，2）的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标．

Answer 1

分析：根据垂径定理可知圆心在圆中弦的垂直平分线上，所以利用中点坐标公式分别找出弦OM₁和OM₂的中点坐标和各自的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分线的斜率，即可写出两垂直平分线的方程，然后联立两直线方程求出两垂直平分线的交点坐标即为圆心的坐标，再然后利用两点间的距离公式求出圆心到O点的距离即为圆的半径．

解答：解：OM₁的中点坐标为（

1

2

，

1

2

），直线OM₁的斜率为

1-0

1-0

=1，所以垂直平分线的斜率为-1
则线段OM₁的垂直平分线方程为y-

1

2

=-（x-

1

2

）化简得x+y-1=0①；
同理得到OM₂的中点坐标为（2，1），直线OM₂的斜率为

2-0

4-0

=

1

2

，所以垂直平分线的斜率为-2
则线段OM₂的垂直平分线方程为y-1=-2（x-2）化简得2x+y-5=0②．
联立①②解得

x=4 y=-3

，则圆心坐标为（4，-3），圆的半径r=

(4-0)2+(-3-0)2

=5
则圆的标准方程为：（x-4）²+（y+3）²=25

点评：此题考查学生会利用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程，是一道中档题．