Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；
（3）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²在区间[-2，t]上总有两个不同的解．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由导数的正负，即可确定函数的单调性；
（2）根据t的取值进行分类讨论，结合（1）的结论，得f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e，根据f（-2）=13e^-2＜e，从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即可判断f（-2）和f（t）的大小；
（3）将方程

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²等价转化为g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2=0在区间[-2，t]上有两个不同的解，根据零点的存在性定理，结合二次函数的单调性，即可证得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=（x²-3x+3）•e^x，
∴f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，
令f′（x）＞0，即（x²-x）e^x＞0，解得x＜0或x＞1，
令f′（x）＜0，即（x²-x）e^x＜0，解得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）∵t＞-2，
①当t∈（-2，0]时，
∵f（x）在（-∞，0]单调递增，∴f（t）＞f（-2），
②当t∈（0，+∞）时，∵f（x）在[0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增，
∴f（t）所能取得的最小值为f（1）与f（-2）的最小值，
∵f（1）=e，f（-2）=13e^-2，f（1）＞f（-2），
∴当t∈（0，+∞）时，f（t）＞f（-2）
综上可知：当t＞-2时，f（t）＞f（-2）；
（3）

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²即x²-x=

2

3

（t-1）²，
考虑函数g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

（t+2）（t-4）＞0，g（1）=-

2

3

（t-1）²＜0，
g（t）=t²-t-

2

3

(t-1)2=

1

3

（t²+t-2）=

1

3

（t+2）（t-1）＞0，
∴g（x）在区间[-2，1）、（1，t）分别存在零点，
又由二次函数的单调性可知：g（x）最多存在两个零点，
∴关于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²在区间[-2，t]上总有两个不同的解．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．