Question

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）当k=1，y=2时，解关于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|对任意满足|x|＜1，|y|＜1的实数x，y恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当k=1，y=2时，由不等式可得|1-2x|＞|x-2|，即 1-4x+4x²＞x²-4x+4，等价于 x²＞1．
（2）已知不等式等价于  （k²x²-1）（y²-1）＞0对任意满足|x|＜1，|y|＜1的实数x，y 恒成立，而y²＜1，转化为k²x²-1＜0对任意满足|x|＜1的实数x恒成立，由 ∈（1，+∞），可得 k²≤1．
解答：解：（1）当k=1，y=2时，不等式|1-kxy|＞|kx-y|，即为|1-2x|＞|x-2|．
所以，1-4x+4x²＞x²-4x+4  等价于 x²＞1，所以，x∈（-∞，-1）∩（1，+∞）．
（2）由已知得|1-kxy|＞|kx-y|等价于|1-kxy|²＞|kx-y|² 等价于  1+k²x²y²＞k²x²+y²，
即（k²x²-1）（y²-1）＞0对任意满足|x|＜1，|y|＜1的实数x，y 恒成立．
而y²＜1，所以y²-1＜0，故（k²x²-1）（y²-1）＞0，等价于 k²x²-1＜0．
于是命题转化为k²x²-1＜0对任意满足|x|＜1的实数x恒成立．
当x=0时，易得k∈R；
当x≠0时，有k²＜对任意满足|x|＜1，x≠0的实数x恒成立．
由0＜|x|＜1 等价于 0＜x²＜1，∴∈（1，+∞），所以，k²≤1．
综合以上得k∈[-1，1]即为所求的取值范围．
点评：本题考查查绝对值不等式的解法，不等式的基本性质，体现了转化的数学思想．