Question

已知点A（2，

1

2

）为双曲线y=

1

x

在第一象限分支上的一点，试判断过点A的一条直线能否与双曲线第三象限的分支相切．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立

y= 1 x y- 1 2 =k(x-2)

，得2kx²-（4k+1）x-2=0，利用根的判别式判断过点A的一条直线能否与双曲线第三象限的分支相切．

解答： 解：设过点A（2，

1

2

）的直线方程为y-

1

2

=k（x-2），
联立

y= 1 x y- 1 2 =k(x-2)

，得2kx²-（4k+1）x-2=0，
△=（4k+1）²+8k，
∴k＞0时，过点A的一条直线能与双曲线第三象限的分支相切；
k＜0时，过点A的一条直线不能与双曲线第三象限的分支相切．

点评：本题考查直线与双曲线能否相切的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的灵活运用，