Question

如图所示，椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，椭圆Γ上的点到F₁，F₂的距离之差的最大值为2，且其离心率e是方程4x²-8x+3=0的根．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）过左焦点F₁的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，与圆x²+y²=a²相交于C，D两点，求

|AB|

|CD|

的最小值，以及取得最小值时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P是椭圆Γ上任意一点，则|PF₁|-|PF₂|≤|F₁F₂|=2c，故c=1．解方程4x²-8x+3=0，得

1

2

=e=

c

a

，由此能求出椭圆Γ的方程．
（2）法一：焦准距p=

a2

c

-c=3，设∠OF₁B=θ（0≤θ＜π），由已知条件推导出

|AB|2

|CD|2

=

1

3+cos2θ

•

36

(4-cos2θ)2

．令t=4-cos²θ∈[3，4]，则

|AB|2

|CD|2

=

36

t2(7-t)

．令f（t）=t²（7-t），则f'（t）=-3t²+14t=t（14-3t）＞0，由此求出

|AB|

|CD|

的最小值为

3

2

，取得最小值直线l的方程为x=-1．
（2）法二：当l⊥x轴时，|AB|=3，|CD|=2

3

，有

|AB|

|CD|

=

3

2

．当l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由已和条件推导出

|AB|2

|CD|2

=

36t3

(4t-1)2(3t+1)

=

36

( 1 t )3-5( 1 t )2-8• 1 t +48

．由此能求出

|AB|

|CD|

的最小值为

3

2

，取得最小值直线l的方程为x=-1．

解答： 解：（1）设P是椭圆Γ上任意一点，
则|PF₁|-|PF₂|≤|F₁F₂|=2c，故c=1．
解方程4x²-8x+3=0，得x=

1

2

或x=

3

2

．
因0＜e＜1，故

1

2

=e=

c

a

，因此a=2，从而b²=3．
所以椭圆Γ的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解法一：焦准距p=

a2

c

-c=3，设∠OF₁B=θ（0≤θ＜π），
则|F1B|=

3

2-cosθ

，|F1A|=

3

2+cosθ

，故|AB|=

12

4-cos2θ

．
|CD|=2

22-sin2θ

=2

3+cos2θ

，
故

|AB|2

|CD|2

=

1

3+cos2θ

•

36

(4-cos2θ)2

．
令t=4-cos²θ∈[3，4]，则

|AB|2

|CD|2

=

36

t2(7-t)

．
令f（t）=t²（7-t），则f'（t）=-3t²+14t=t（14-3t）＞0，
故f（t）在[3，4]单调递增，从而f（t）≤f（4）=48，
得

|AB|2

|CD|2

≥

36

48

=

3

4

⇒

|AB|

|CD|

≥

3

2

，
当且仅当t=4即θ=

π

2

时取等号．
所以

|AB|

|CD|

的最小值为

3

2

，取得最小值直线l的方程为x=-1．
（2）解法二：当l⊥x轴时，|AB|=3，|CD|=2

3

，有

|AB|

|CD|

=

3

2

．
当l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1，并整理得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
故|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(

-8k2

4k2+3

)2-4•

4k2-12

4k2+3

]=(

12k2+12

4k2+3

)2．
圆心O到l的距离d=

|k|

k2+1

，
故|CD|2=4(4-

k2

k2+1

)=

12k2+16

k2+1

，
令t=k²+1，则

|AB|2

|CD|2

=

36t3

(4t-1)2(3t+1)

=

36

( 1 t )3-5( 1 t )2-8• 1 t +48

．
令s=

1

t

，且f（s）=s³-5s²-8s+48，
则f'（s）=3s²-10s-8=（3s+2）（s-4）．
因t≥1，故s∈（0，1]，因此f'（s）＜0，从而f（s）＜f（0）=48，

|AB|2

|CD|2

＞

36

48

=

3

4

⇒

|AB|

|CD|

＞

3

2

．
综上知

|AB|

|CD|

的最小值为

3

2

，取得最小值直线l的方程为x=-1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段比值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．