Question

已知椭圆C ：的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁·k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，
∵直线与圆相切，
∴，即， 
又，即，，
解得，，
所以椭圆方程为。
（Ⅱ）设，，，
则，即，
则，，
即，
∴为定值。
（Ⅲ）设，其中，
由已知及点P在椭圆C上可得，
整理得，其中，
①当时，化简得，
所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当时，方程变形为，其中，
当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；
当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分；当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。