Question

正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AD和BC所成角为（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  π

  3

• C、

  π

  6

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：以AC的中点O为坐标原点，OA为x轴正半轴，OB为y轴正半轴，OD为z轴正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，标出各点坐标，从而得向量

AD

和

BC

的坐标，由公式cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD || BC |

，可探求异面直线AD和BC所成角．

解答： 解：在原正方形中，设AC与BD的交点为O，沿AC折成直二面角后，由OD⊥AC及OB⊥AC知，∠BOD=90°，
于是以O为坐标原点，OA为x轴正半轴，OB为y轴正半轴，OD为z轴正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，如右图所示．
又设原正方形的边长为2，则A（-

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（

2

，0，0），D（0，0，

2

），
从而

AD

=（

2

，0，

2

），

BC

=（

2

，-

2

，0），得|

AD

|=2，|

BC

|=2，
所以cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD || BC |

=

2 × 2 +0×(- 2 )+ 2 ×0

2×2

=

1

2

，
又异面直线AD和BC所成角的范围是（0，

π

2

]，得异面直线AD和BC所成的角为

π

3

．
故答案为B．

点评：本题主要考查了两异面直线所成角的求法，当几何体中出现面面垂直关系时，可以考虑使用向量法求解，应注意区分两向量的夹角与两异面直线所成角的关系，一般来说，若两向量夹角为钝角，则两异面直线所成角是其补角；若两向量夹角为锐角，则两异面直线所成角就是该角．