Question

已知f（x，y）=（ax+by+1）ⁿ（常数a，b∈Z，n∈N^*且n≥2）
（1）若a=-2，b=0，n=2010，记f(x，y)=a0+

2010

i=1

aixi求：①

2010

i=1

ai；②

2010

i=1

iai
（2）若f（x，y）展开式中不含x的项的系数的绝对值之和为729，不含y项的系数的绝对值之和为64，求n的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）①即为二项展开式中，含x项的各项系数之和，令x=0，得a₀=1，令x=1，得出a₀+

2010

i=1

ai=1即可求出结果．②二项展开式两边同时对x求导，再令x=1．
（2）令a=0得（|b|+1）ⁿ=729，令b=0得（|a|+1）ⁿ=64，结合正整数指数幂的运算，验证出n的数值．

解答：解：（1）由已知，令x=0，得a₀=1，l令x=1，得a₀+

2010

i=1

ai=（-2+1）²⁰¹⁰=1，①

2010

i=1

ai=0
②f（x，y）=（-2x+1）²⁰¹⁰=(2x-1)2010=a0+

2010

i=1

aixi两边同时对x求导，得2010（2x-1）²⁰⁰⁹×2=

2010

i=1

iaixi-1，再令x=1得

2010

i=1

iai=4020
（2）令a=0得（by+1）ⁿ，则（|b|+1）ⁿ=729
令b=0，（ax+1）ⁿ，则（|a|+1）ⁿ=64
因为64所有的底数与指数均为正整数的指数式拆分为：8²，4³，2⁶
所以当n=2时，|a|=7，|b|=26；当n=3时，|a|=3，|b|=8；当n=6时，|a|=1，|b|=2
故n的所有的可能值为2，3，6

点评：本题考查二项式定理的应用：求展开式中相关系数的和．解决的一般思路是由特殊到一般，对字母灵活赋值，达到消元、构造的目的．