Question

【题目】已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）设 ， 是曲线 图象上的两个相异的点，若直线 的斜率 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设函数 有两个极值点 ， ，且 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令 或 ，

的单调增区间为 ；单调减区间为 .

（2）解： ，所以 ，

令 在 上单调递增，

，对 恒成立，

,对 恒成立，

又 ，当 时取等号，

，故 .

（3）解： ，因为函数 有两个极值点 ，所以 是方程 的两个根，即，所以是 方程 的两个根，

所以有 ，

∴

令 ，则 ，设 ，

∴ ，

∴ 在 上单减，∴ ，

故 .

【解析】（1）根据题意求出导函数，利用导函数的正负来判断f ( x ) 的单调性。（2）根据题意可知构造函数并确定函数的单调性，分离参数即可求出a的取值范围。（3）由已知利用韦达定理整理f(x1)f(x1)的代数式，整体代换令 x 12= x构造函数 g ( x )=,对其求导利用导函数的正负确定原函数的单调性，即可求出最值进而可求出m的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．