【题目】
(1)设函数 ,求
的最大值;
(2)试判断方程 在
内存在根的个数,并说明理由.
【答案】
(1)解:当 时,若
,
,
若 ,由
,可知
,故
.
当 时,由
,可得:
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减,
可知 ,且
.
综上可得,函数 的最大值为
.
(2)解:方程 在
内存在唯一的根.
理由如下:设 ,
当 时,
,
又 ,
所以存在 ,使得:
.
因为 ,
所以当 时,
,
当 时,
,
所以当 时,
单调递增,
所以方程 在
内存在唯一的根.
【解析】对于(1)分段函数最值的研究,要结合分段函数的导致,分别求出最值,各段最大值的最大者就是最大值,要注意分类讨论。
对于(2)判断方程的实根个数时,往往通过函数的导致,判断函数的单调性,利用函数的零点推出结果。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的极值的理解,了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数 .
(1)当 时,求
的单调区间;
(2)设 ,
是曲线
图象上的两个相异的点,若直线
的斜率
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数 有两个极值点
,
,且
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,,
,F分别为AB,PC的中点.
(I)若四棱锥P-ABCD的体积为4,求PA的长;
(II)求证:PE⊥BC;
(III)求PC与平面PAD所成角的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图是由正整数构成的数表,用aij表示i行第j个数(i,j∈N+).此表中ail=aii=i,每行中除首尾两数外,其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和.
(1)写出数表的第六行(从左至右依次列出).
(2)设第n行的第二个数为bn(n≥2),求bn.
(3)令,记Tn为数列
前n项和,求
的最大值,并求此时n的值.
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【题目】甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)求甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是多少;
(2)求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少.
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【题目】如图,已知椭圆 =1(a>b>0),F1 , F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且 =2
,求椭圆的方程.
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