Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，，，F分别为AB，PC的中点.

（I）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求PA的长；

（II）求证：PE⊥BC；

（III）求PC与平面PAD所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）PA=2；

（2）见解析.

（3）.

【解析】分析：（I）设，由四棱锥体积，利用棱锥的体积公式列出关于的方程求解即可；（II）由线面垂直的性质可得，结合已知条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得结果；（III）先证明么平面可得为与平面所成角，在直角三角形中，.

详解：

（I）设PA=，由题意知

解得，所以PA=2

（II）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD

所以

又∠ABC =90°

所以

因为平面PAB, 平面PAB,

所以平面PAB

又平面PAB

所以PE⊥BC

（III）取AD的中点G，连结CG，PG

因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，

又，则AB⊥平面PAD，

由题意知BC∥AG，BC=AG，所以四边形ABCG为平行四边形

所以CG∥AB，那么CG⊥平面PAD

所以为PC与平面PAD所成角 设PA=，则CG=，PG=，在直角三角形中，

所以PC与平面PAD所成角的正切值为 .