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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC,F为BB1上一点,BF=BC=2,FB1=1,D为BC中点,E为线段AD上不同于点A、D的任意一点.
(I)证明:EF⊥FC1
(II)若AB=,求DF与平面FA1C1所成的角.

【答案】分析:(1)要证C1F⊥EF,只需证明C1F⊥平面DEF,由AB=AC,,D为BC的中点可得AD⊥BC,由BB1⊥平面ABC  可得BB1⊥AD,由AD⊥平面B1BCC1  可得AD⊥FC1,然后根据已知可证C1F⊥FD,根据线面垂直的判定定理
可得
(2)设DF与平面FA1C1所成的角为θ,点D到FA1C1的距离为h,利用等体积法可求h,由可求
解答:解:(1)AB=AC,,D为BC的中点∴AD⊥BC
∵BB1⊥平面ABC∴BB1⊥AD
∴AD⊥平面B1BCC1∴AD⊥FC1
∵BC=BF=2∴DB=1,又 FB1=1
∴Rt△DBF∽Rt△FB1C1
∴C1F⊥FD∵FD∩AD=D
∴C1F⊥平面DEF∴C1F⊥EF
(2)设点D到FA1C1的距离为h
由(1)知C1F⊥FD
用等体积法可知

设DF与平面FA1C1所成的角为θ
=
∴DF与平面FA1C1所成的角
点评:本题主要考查了线线垂直与线面垂直的相互转换的应用,而(2)问的求解主要是利用了等体积法求解点到面的距离,这是求解距离的常用方法,避免了做垂线的难点,求而不作.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题

 

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA。
(I)求证:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
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科目:高中数学 来源: 题型:

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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