Question

某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利益，商店决定提高商品的销售价格，经实际的销售过程发现，若按每件18元销售，每月能销售1200件，若按每件22元销售，每月可以销售400件，已知销售量y（件）与销售价格x（元）之间的关系是一次函数关系，求解下列问题：
（1）写出销售量y（件）与销售价格x（元）之间的函数关系式；
（2）如何定价能使每月的销售利润最大，并求最大利润的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,简单线性规划

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据题意设y=kx+b，分别把对应的x=18，y=1200；x=22，y=400代入利用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润=总收入-总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P=-200（x-20）²+3200，求其最大值即可．

解答： 解：（1）依题意设y=kx+b，
则有

18k+b=1200 22k+b=400

，
解得k=-200，b=4800，
∴y=-200x+4800，（16≤x≤24）．
（2）每月获得利润P=（-200x+4800）（x-16）
=-200x^2₊8000x-4800×16
=-200（x^2_-40x）-4800×16
=-200（x-20）²+3200
∴在16≤x≤24范围内，当x=20时，P有最大值，最大值为3200．
答：当价格为20元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3200元．

点评：主要考查了根据实际问题列函数关系式的能力．读懂题意准确地列出式子是解题的关键，要熟练地运用待定系数法求函数关系式，并会利用二次函数的最值问题求实际问题的最大利润．