Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$及实数x，y，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=-y$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$，如果$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，且|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$．
（1）求x，y的函数关系式y=f（x）及定义域；
（2）判断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）根据条件知，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0，\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$，从而得到$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow{b}]•（-y\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}）=0$，进行数量积的运算即可得出y=x（x²-3），而由$|\overrightarrow{c}|≤\sqrt{10}$便可得到${\overrightarrow{c}}^{2}≤10$，进行数量积的运算即可求出x的范围，即y=f（x）的定义域为$[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$；
（2）求导数，f′（x）=3（x²-1），从而可以判断导数在定义域[$-\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$]上的符号，从而便可得出f（x）的单调区间，并且可以得出极值，比较端点值即可得出函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0，\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$；
又$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1$；
∴$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow{b}]•（-y\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}）$=-y+x（x²-3）=0；
∴y=x（x²-3）；
由$|\overrightarrow{c}|≤\sqrt{10}$得${\overrightarrow{c}}^{2}≤10$；
∴$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow{b}]^{2}$=1+（x²-3）²≤10；
解得$-\sqrt{6}≤x≤\sqrt{6}$；
∴y=f（x）的定义域为[$-\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$]；
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3（x²-1）；
∴x$∈[-\sqrt{6}，-1）$时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，$x∈（1，\sqrt{6}]$时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调递增区间为$[-\sqrt{6}，-1]，[1，\sqrt{6}]$，单调递减区间为（-1，1），且f（-1）为f（x）的极大值，f（1）为f（x）的极小值；
又$f（-\sqrt{6}）=-3\sqrt{6}$，f（1）=-2，$f（\sqrt{6}）=3\sqrt{6}$，f（-1）=2；
∴f（x）的最大值为$3\sqrt{6}$，最小值为-$3\sqrt{6}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，数量积的运算，函数极大值、极小值的定义，以及最大值、最小值的定义，根据导数符号判断函数单调性及求函数单调区间的方法．